Come capire se una funzione è invertibile

Ricevo da Jessica la seguente domanda:

Gentilissimo Professor Bergamini,

ho provato a risolvere il seguente esercizio (pag.138V, n. 22, Manuale blu di matematica), ma ho molti dubbi:

a) Determina il campo di esistenza della funzione \[f\left( x \right)=\frac{\ln x}{1-2\ln x}\] e calcola i limiti per \(x\to {{0}^{+}}\) e per \(x\to +\infty\).

b) Dimostra che la funzione è invertibile nel suo campo di esistenza e scrivi l’equazione della funzione inversa. Perché la funzione è invertibile pur non essendo crescente?

c) Considera \(\left| f\left( x \right) \right|\) e verifica che assume lo stesso valore agli estremi dell’intervallo \(\left[ \sqrt[3]{e},e \right]\). Si può affermare che vale il teorema di Rolle nell’intervallo \(\left[ \sqrt[3]{e},e \right]\)?

d) Studia la continuità e la derivabilità di \(\left| f\left( x \right) \right|\).

Mi può aiutare per favore?

Grazie.

Le rispondo così:

Cara Jessica,

la funzione esiste per ogni \(x>0\), escluso il valore di \(x\) che rende nullo il denominatore dell’espressione, cioè \(x=\sqrt{e}\), per cui il dominio è l’insieme \({{D}_{f}}=\left] 0,\sqrt{e} \right[\cup \left] \sqrt{e},+\infty \right[\). I limiti nei punti di accumulazione di \(D_f\) non appartenenti ad esso, sono i seguenti: \[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln x}{1-2\ln x}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\frac{1}{\ln x}-2}=\frac{1}{{{0}^{-}}-2}=-\frac{1}{2}\quad \quad \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln x}{1-2\ln x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\frac{1}{\ln x}-2}=\frac{1}{{{0}^{+}}-2}=-\frac{1}{2}\] \[\underset{x\to {{\sqrt{e}}^{\mp }}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln x}{1-2\ln x}=\frac{\sqrt{e}}{{{0}^{\pm }}}=\pm \infty \quad .\] Da quanto visto, si deduce che il codominio della funzione è l’insieme \({{C}_{f}}=\mathbb{R}-\left\{ -\frac{1}{2} \right\}\). La funzione è continua e derivabile in ogni punto del proprio dominio, e la funzione derivata è la seguente: \[f'\left( x \right)=\frac{1}{x{{\left( 1-2\ln x \right)}^{2}}}\quad .\] Poichè, per ogni \(x\in D_f\), si ha \(f’(x)>0\), la funzione è monotona crescente in ogni intervallo contenuto nel suo dominio in cui risulti derivabile: in altre parole, possiamo affermare la monotonia solo separatamente nei due sottoinsiemi connessi di cui il dominio è formato, cioè \(\left] 0,\sqrt{e} \right[\) e \(\left] \sqrt{e},+\infty \right[\); la funzione non risulta invece globalmente monotona. Tuttavia, poiché nel primo intervallo la funzione cresce da \(-1/2\) a \(+\infty\), mentre nel secondo cresce da \(-\infty\) fino a \(-1/2\), si deduce che la funzione è comunque iniettiva, quindi realizza una corrispondenza biunivoca tra \(D_f\) e \(C_f\) ed è invertibile, e la sua inversa \({{f}^{-1}}\), definita su \(C_f\), ha la seguente espressione: \[y=\frac{\ln x}{1-2\ln x}\Rightarrow y-2y\ln x=\ln x\Rightarrow \ln x=\frac{y}{1+2y}\Rightarrow x={{e}^{\frac{y}{2y+1}}}\Rightarrow {{f}^{-1}}\left( x \right)={{e}^{\frac{x}{2x+1}}}\quad .\] Per sostituzione, si verifica effettivamente che \(\left| f\left( \sqrt[3]{e} \right) \right|=\left| \frac{1/3}{1-2/3} \right|=1\) e \(\left| f\left( e \right) \right|=\left| \frac{1}{1-2} \right|=\left| -1 \right|=1\), ma le altre ipotesi del teorema di Rolle non sono soddisfatte nell’intervallo \(\left[ \sqrt[3]{e},e \right]\), non essendo \(f(x)\) definita nel punto \(x=\sqrt{e}\) interno ad esso.

Infine, la continuità di \(\left| f\left( x \right) \right|\) rimane assicurata in tutti i punti in cui lo è \(f(x)\), cioè in tutto \(D_f\); possiamo dire che in corrispondenza all’asintoto verticale \(x=\sqrt{e}\) si ha una discontinuità di 2° specie per il grafico di \(f(x)\), essendo \(x=\sqrt{e}\) di accumulazione per il dominio. Riguardo alla derivabilità di \(\left| f\left( x \right) \right|\), permane in tutto \(D_f\) ad esclusione del punto \(x=1\), infatti:\[D\left| f\left( x \right) \right|=\frac{1}{x{{\left( 1-2\ln x \right)}^{2}}}\text{ per }1<x<\sqrt{e},\quad \quad D\left| f\left( x \right) \right|=-\frac{1}{x{{\left( 1-2\ln x \right)}^{2}}}\text{ per 0}<x<1\vee x>\sqrt{e}\] e poiché i limiti da destra e da sinistra rispetto a \(x=1\) delle precedenti espressioni sono \(1\) e \(-1\), utilizzando in senso negativo il crieterio sufficiente di derivabilità basato sul teorema di de l’Hopital, possiamo affermare che in \(x=1\) la funzione \(\left| f\left( x \right) \right|\) non è derivabile, presentando qui un punto angoloso.

Massimo Bergamini